ARDIŞIK SAYILAR

Belli bir kurala göre bir birini takip eden sayı gruplarına ardışık sayılar denir.

Ardışık doğal sayılar; 0, 1, 2, 3, 4, 5, …....

Ardışık tek sayılar; 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …......

Ardışık çift sayılar;  0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …......

4 ün katı olan ardışık doğal sayılar; 0, 4, 8, 12, 16, ….....  şeklinde devam eder.

      

              n bir tam sayı olmak üzere,

1- Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

             n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

2-Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

           2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

3-Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

           2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

4-Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

           3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

   Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.

                UYARI : İki ardışık sayının toplamı daima tektir.  Bütün çift sayıların toplamı daima çifttir.

Biraz örnek çözelim:

SORU : İki ardışık sayının toplamı 97 ise bu sayılar kaçtır?

Cevap :     n

         +      n + 1 

                 97

Yukarıda iki ardışık sayı n ve n +1 ile gösterilmiştir. İlk iş olarak fazlalık olan 1 i toplamdan yani 97 den çıkarıyoruz.

      97 – 1 = 96     

Artık fazlalık kalmadığına göre; ve iki ardışık sayımız olduğuna göre, kalan sayıyı ikiye bölerek küçük sayıyı bulabiliriz.

  96 : 2 = 48    Küçük sayı

Büyük sayıyı bulmak için ise;

  48 + 1 = 49

SORU : İki ardışık çift sayının toplamı  178 ise bu sayılar kaçtır?

Cevap :     n

           +    n + 2   

                 178

Ardışık çift sayıların ikişer ikişer artıyor olması sebebiyle, bu defa ikinci sayımızdaki 2 fazlalığını toplamdan çıkarıyoruz.

 178 – 2 = 176

Artık fazlalık kalmadı. iki sayımız olduğu için sonucu ikiye bölerek küçük sayımızı bulabiliriz.

176 : 2 = 88 Küçük sayı

Büyük sayı, küçük sayıdan 2 fazla olduğuna göre; 2 ekleyerek büyük sayıyı bulabiliriz.

88 + 2 = 90 Büyük sayı

NOT : Bir çok öğrencimizin düştüğü tuzak; verilen sayıyı hemen sayı adedine bölmeleridir. Unutmayalım ki; ardışık sayılar belirli oranlarda artarak gider. Sizlerin öncelikle bu artışı toplamdan çıkarmanız gerekir. Daha sonra kaç sayı varsa, ona göre bölme işlemini yaparak küçük sayımızı bulabiliriz. Bu bölme işlemi sonrası çıkan sonuş bütün işlemlerde küçük sayıdır. Büyük sayıyı bulmak için ise tekrar ekleme yapmanız grekmektedir.

Yukarıda da değinildiği üzere bu artış; ardışık sayılarda 1, ardışık çift ve ardışık tek sayılarda 2'dir.

Ardışık çift ve ardışık tek sayılarla ilgili problemler aynı şekilde çözülür. çift ve tek oluşları kafanızı karıştırmasın. Çünkü her ikisi de 2'şer 2'şer artmaktadır. Bir tane de tek sayılarla ilgili çözerek görelim.

SORU : Ardışık iki tek sayının toplamı 108'dir. Buna göre küçük ve büyük sayıları bulalım.

Cevap :           n

               +      n + 2

                      108

Yine öncelikli hedefimiz fazlalığı çıkarmak,

 108 - 2 = 106

Daha sonra iki sayı olduğu için sonucu ikiye bölerek küçük sayıyı bulmak,

106 / 2 = 53    Küçük sayı

Büyük sayı için ise 2'yi tekrar eklememiz yeterli,

53 + 2 = 55   Büyük sayı

ISINMA TURLARI SONA ERDİ, SORULARIMIZI BİRAZ DAHA ZORLAŞTIRALIM... :)

SORU:  Ardışık üç sayının toplamı 246'dır. Buna göre küçük, orta ve büyük sayıları bulunuz.

Cevap:      n

                n + 1

         +     n + 2 

               246

bu defaki fazlalıklarımız 1 ve 2   ------ yani 1 + 2 = 3

Bu fazlalığı toplamdan çıkaralım

246 - 3 = 243

Bu defa iki değil, üç sayımız var. O halde sonucuda 3'e bölmemiz gerekiyor.

243 / 3 = 81    Küçük sayı

Ortanca sayı küçük sayıdan 1 fazla olduğuna göre;

81 + 1 = 82  ortanca sayı

Büyük sayı küçük sayıdan 2 fazla olduğuna göre;

81 + 2 = 83    Büyük sayıdır

SORU: Ardışık üç çift sayının toplamı 222'dir. Buna göre; küçük, ortanca ve büyük sayıları bulunuz.

Çözüm: Çift sayılar 2'şer 2'şer artmaktaydı. O halde;

            n

            n + 2

      +    n + 4 

            222

Fazlalıklarımız 2 ve 4   ----- Yani 2 + 4 = 6    

Bu fazlalığı çıkaralım  222 - 6 = 216

Üç sayımız olduğu için yine 3'e bölelim ve küçük sayımızı bulalım.

216 / 3 = 72  Küçük sayı

72 + 2 = 74 Ortanca sayı

72 + 4 = 76  Büyük sayı

SORU: Ardışık dört sayının toplamı 418' dir. Buna göre bu sayıları bulunuz.

Cevap:    1.sayı             n

              2.sayı             n + 1

              3.sayı             n + 2

              4.sayı      +     n + 3

                                    418

Dört sayımızda yukarıda belirtilmiştir. fazlalıklara baktığımızda; 1, 2 ve 3' ü görüyoruz. yani 1 + 2 + 3 = 6

Fazlalığımızı çıkarıyoruz,    418 - 6 = 412

Dört sayımız olduğu için sonucu 4'e bölerek küçük sayımızı yani 1.sayımızı buluyoruz.

412 / 4 = 103     (1.sayı)

103 + 1 = 104    (2.sayı)

103 + 2 = 105    (3.sayı)

103 + 3 = 106    (4.sayı)

BÖLME İŞLEMİ

1. Arzu, 345 TL n‘sini üç kardeşi ile eşit olarak paylaşmak istiyor. Her birine kaçar lira düşer?

2. Ahmet Bey düğün süslemelerinde kullanmak üzere 760 tane balon aldı. Balonları 4 eşit parçaya ayırarak salonunun dört köşesini süslemek istiyor. Her bir köşede kaçar tane balon olur?

3. 600 140 sayısını dörde bölüp sonra bulduğumuz sayıyı 5’e bölersek hangi sayıyı buluruz?

4. 78900, 304567 ve 234567 sayılarını toplayan Sami, toplamda bulduğu sayıyı 20’ye bölüyor.Bu işlemde kalan sayı kaçtır?

5. İki şehir arası 640 km’dir. Şehrin birinden diğerine 8 saatte giden bir otomobilin saatteki ortalama hızı kaç kilometredir?

6. İçerisinde 24 paket mercimek bulunan bir kolinin kütlesi 120 gramdır. Bu kolide bulunan mercimeklerin bir paketi kaç gramdır?

7. Bir kutu çikolatanın kütlesi 2650 gramdır. Bir tane çikolata 25 gram gelmektedir. Bu kutuda kaç tane çikolata vardır?

8. Bir kamyonda 18 960 kg buğday var. Bu buğday 60 kg buğday alan kaç tane çuvala doldurulur?

9. Kolisinde 30 tane yumurta olan 5 koli yumurtanın toplam kütlesi 7500 gram gelmektedir. Buna göre bir yumurta ortalama kaç gram gelmektedir?

10. Bir kamyonda yüklü olan mandalinaların brüt kütlesi 20400 kg’dır. Bu kamyonun kütlesi boşken 5200 kg gelmektedir. Kamyona eşit kütleye sahip 400 kasa mandalina yüklendiğine göre her bir kasada kaç kilogram mandalina vardır?

                                          BÖLME İŞLEMİ

Paylaştırmanın kısa yoldan yapılması veya bir çokluğun eşit gruplara ayrılması için yapılan işleme bölme işlemi denir.

Örnek: 21 topu 3 çocuğa eşit sayıda paylaştırırsak her çocuğa kaç top düşer?

1.çocuk= 7 top

2.çocuk= 7 top

3.çocuk= 7 top

Bu işlemi bölme işlemi ile yaparsak kısa yoldan yani;

21:3= 7 eder.

Kalanı 0 (sıfır) olan bölmeye kalansız bölme işlemi denir.

Örnek: Fatma, 65 sayfalık bir kitabı 5 günde okuyup bitirmek istiyor.Günde ortalama kaç sayfa okumalıdır?

65:5=13 sayfa okumalıdır.

İşlemi kontrol etmek için:

Bölünen = Bölen x Bölüm

65 = 5 x 13  işlem doğrudur.

Kalanı 0 (sıfır) dan farklı olan bölmeye kalanlı bölme işlemi denir.

Örnek: 257 metre kumaş 8 eşit parçaya bölünürse kaç metre kumaş artar?

257:8= 32 çıkar ama 1 artar. Kalanlı bölmedir yani.

İşlemi kontrol etmek için:

Bölünen = Bölen x Bölüm +Kalan

257 = 8 x 32 + 1 işlem doğrudur.

Bölme İşleminin Özellikleri:

1) 0 (sıfır) hariç, her doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir.

12:12 = 1

2) Bir doğal sayının 1'e bölümü sayının kendisine eşittir.

45:1 = 45

3) Bir doğal sayı 0 (sıfır) a bölünemez. Tanımsız yani belirsiz olur.

7:0 = tanımsız

4) 0 (sıfır) ın sayma sayılarına bölümü sıfırdır.

0:5 = 0

10, 100 ve 1000'e Kısa Yoldan Bölme İşlemi

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayıları 10'a bölerken bir sıfır silinir.

440:10 = 44

Birler ve onlar basamağındaki rakamları 0 (sıfır) olan sayıları 100'e bölerken 2 sıfır silinir.

5400:100 = 54

Birler,onlar ve yüzler basamağındaki rakamları 0 (sıfır) olan sayıları 1000'e bölerken üç sıfır silinir.

246000:1000 = 246

                                               ÇARPMA PROBLEMLERİ                                                                                                                                                       

Günler	Üretim (kg)
Pazartesi	1230
Salı	1250
Çarşamba	1220
Perşembe	1210
Cuma	1240
Cumartesi	1000

1-    Yandaki tabloda, bir şeker fabrikasının bir haftada ürettiği şeker miktarının günlere göre dağılımı verilmiştir.

        Bu fabrikada bir yılda toplam kaç kilogram şeker üretilir?

                                                                                                                                 

2-  a ve b sayılarının çarpımı 72 ‘ dir. Buna gore  a + b  en çok  kaç olabilir?

3- Ardışık üç sayının  toplamı 219 ’dur. EN BÜYÜK ve EN KÜÇÜK sayıların çarpımı kaçtır?

Hayvanlar Sayısı Koyun 40 Keçi 45 Tavuk 55

   4 -Yandaki tabloda, bir çiftlikteki hayvanların sayıları verilmiştir.

       Bu çiftlikteki hayvanların ayak sayıları toplamı kaçtır?   

ÇARPMA İŞLEMİ Terimleri eşit olan toplama işleminin kısa yoldan yapılışına çarpma işlemi denir. Çarpma işleminde tane, kere ifadeleri de kullanılır. Örnek: 4      + 4 + 4 + 4 = 16 toplama işlemini; 4      x 4 = 16 biçiminde çarpma işlemi olarak ifade edebiliriz. 4 x 4 =             16 (çarpan) (çarpan) (çarpım) Çarpma işleminin kapalılık, birleşme ve değişme özellikleri vardır. Çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı "1" dir. Örnek: 13 x 1 = 13 1 x 13 = 13 28 x 1 = 28 1 x 28 = 28 Ayrıca, çarpma işleminde "sıfır (0) " yutan eleman olarak adlandırılır. Çünkü doğal sayıların sıfırla çarpımı sıfırdır. Örnek:    5X0=0   1000000X=0                                                                                                                    * Bir doğal sayının 10'un kuvvetleriyle olan çarpımlarını zihinden yapabilmek için aşağıdaki yol izlenmelidir: 15 x 10 = 150        15 x 100 = 1500 15x1000 =15000 15x10000 =150000 Not: Yukarıdaki işlemler ve sonuçları inceledikten sonra aşağıdaki kuralı söyleyebiliriz: Bir doğal sayıyı 10, 100, 1000 ... sayıları ile çarpmak için bu doğal sayının sağına kaç sıfır bulunuyorsa sırayla bir, iki, üç, dört ... tane sıfır yazılır. Çarpmanın Toplama Üzerine Dağılma Özelliği:

Bu özelliği bir örnek üzerinde açıklayalım. Örnek: Bir kırtasiyeden içinde 100'er tane silgi bulunan 6 kutu ve içinde 80'er tane silgi bulunan 6 kutu alınırsa kaç silgi alınmış olur? Çözüm: 1.     Yol: 6      x ( 100 + 80 ) = 6 x 180 = 1080 silgi 2.      Yol: ( 6 x 100 ) + ( 6 x 80 ) = 600 + 480 = 1080 silgi Dolayısıyla bu iki çözüm yolunda da, toplamı oluşturan terimlerin her biri çarpan sayı ile ayrı ayrı çarpılarak toplanınca, sonuç değişmiyor. Yani; 6 x ( 100 + 80 ) = ( 6 x 100 ) + ( 6 x 80 ) dir. Buna çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği denir.

                                 ÇIKARMA İŞLEMİ  PROBLEMLERİ

1- 3, 7, 0, 8 rakamları ile yazılabilecek en büyük doğal sayı ile en küçük doğal sayı arasındaki fark kaçtır?

2-7A9 – B54 = 555 işleminde B ve A birbirinden farklı doğal sayılardır. BA doğal sayısı kaçtır?

3-Bir çıkarma işleminde eksilenle çıkanın toplamı 1245, fark 389’dur. Eksilen sayı kaçtır?

 4- Bir çıkarma işleminde fark 176’dır. Eksilen sayıya 34 ekleyip, çıkan sayıdan 42 çıkarırsak yeni fark kaç olur?

5- AB6 – 47 = 689 işleminde A ve B birbirinden farklı doğal sayılardır. A + B işlemin sonucu kaçtır?

6-Bir çıkarma işleminde fark 128’dir.Eksilen sayıdan 21, çıkan sayıdan 35 çıkarırsak yeni fark kaç olur?

7- Dört basamaklı en büyük doğal sayı ile üç basamaklı en büyük çift doğal sayı arasındaki fark kaçtır?

8- A1B – 5C6 = 281 işleminde A, B ve C doğal sayıları birbirinden farklı doğal sayılardır. ABC doğal sayısı kaçtır?

9- Bir torbada 56 kg pirinç, diğer bir torbada 32 kg pirinç vardır. Çok olandan az olana kaç kg pirinç aktarırsak, her iki torbada eşit miktarda pirinç olur?

10- Toplamları 38 olan iki doğal sayının farkı en çok kaç olabilir?

11- Bir çıkarma işleminde eksilen, çıkan ve farkın toplamı 436’dır. Eksilen sayı kaçtır?

12- Bir çıkarma işleminde eksilen ile farkın toplamı 248, çıkan 64 olduğuna göre fark kaçtır?

13- 93 – 36  = 57 işleminde eksileni 7 eksiltir, çıkanı 9 artırırsak farkta nasıl bir değişiklik olur?

14- İki sayının farkı 325‘ dir. Çıkan sayı 75 olduğuna göre eksilen kaçtır?

15- İki sayının farkı 18’dir. Eksileni 5, çıkanı 3 artırırsak yeni fark kaç olur?

16- 3678 sayısının onlar basamağına 1 eklenir, yüzler basamağından 1 çıkarılırsa, yeni oluşan sayı ile arasındaki fark kaç olur?

17- Bir çıkarma işleminde çıkan sayı ile farkın toplamının yarısı 36 ise eksilen sayı kaçtır?

18- AB + AB + AB + AB = 332 ise A – B  kaçtır?

19- Bir çıkarma işleminde eksilen, çıkan ve farkın toplamı 1480’ dir. Çıkan 95 olduğuna göre fark kaçtır?

20 – Eksilenle farkın toplamının 576 olduğu bir çıkarma işleminde, çıkan 148’dir. Fark kaçtır?

21- 190 – 86 = 104 işleminde farkın 124 olması için eksilene kaç eklemeliyiz?

22- Bir çıkarma işleminde çıkan 1624, fark çıkanın 2 katından 174 fazla ise eksilen sayı kaçtır?

23- Aralarında 5’er fark bulunan dört sayının en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark kaçtır?

24- Fatih’in parası Ali’nin parasından 275 TL fazladır. Fatih parasıyla tanesi 15 TL olan 3 kitap alırsa ikisinin paraları arasındaki fark ne olur?

25- Bir hayvan çiftliğinde ördeklerin sayısı tavukların sayısından 15 eksiktir. Koyunların sayısı ördeklerin sayısından 6 eksiktir. İneklerin sayısı ise koyunların sayısından 4 eksiktir. Bu çiftlikte 48 tavuk olduğuna göre çiftlikteki toplam hayvan sayısı kaçtır?

26- İçinde 35 kişi olan bir otobüsten 1. durakta 7 kişi inip 10 kişi binmiştir. 2. durakta 13 kişi inip 21 kişi binmiştir. 3. durakta ise 15 kişi inip 2 kişi binmiştir. 3. durağın sonunda otobüste kaç kişi vardır?

27- TBMM kaç yıl önce açılmıştır?

28- Cumhuriyetimizin ilan edilişinin kaçıncı yılını kutladık?

29- Bir okulda 842 kız, 865 erkek öğrenci vardır. Bu okuldan 378 öğrenci mezun oldu, 482 öğrenci yeni kayıt oldu. Bu okulda kaç öğrenci vardır?

30- Beş doğal sayının toplamı 7019’dur. Bu toplama işleminin her bir toplananından 300 çıkarılırsa toplam kaç olur?

31- Ardışık 9 sayıdan en büyüğü ile en küçüğünden kaç fazladır?